[그래프 이론] 알고리즘 개념 : 위상 정렬

위상 정렬

• 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘
• 방향 그래프의 모든 노드를 '방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것'
• 정렬 알고리즘의 일종
• ex) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정

 

* 진입차수(Indegree) : 특정한 노드로 '들어노는' 간선의 개수

 

위상 정렬 알고리즘

1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣기
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정 반복
   1) 큐에서 원소를 떠내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거
   2) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣기

 

알고리즘 동작 원리

• 큐가 빌 때까지 큐에서 원소를 꺼내서 처리하는 과정을 반복
• 모든 원소 방문하기 전 큐가 빈다 = 큐에서 원소가 V번 추출되기 전 큐가 빈다 → 사이클 O

 

0. 진입차수 0인 노드를 큐에 삽입 → 노드 1

 

1. 먼저 큐에 들어 있는 노드 꺼내기 & 꺼낸 노드와 연결된 간선 제거

노드 1 꺼냄, 연결된 간선 제거 → 노드 2와 노드 5를 큐에 삽입 & 진입차수 0이 됨

 

2. 다음 큐에 들어 있는 노드 꺼내기 & 꺼낸 노드와 연결된 간선 제거

노드 2 꺼냄, 연결된 간선 제거 → 노드 3을 큐에 삽입 & 진입차수 0이 됨

 

3. 다음 큐에 들어 있는 노드 꺼내기 & 꺼낸 노드와 연결된 간선 제거

노드 5 꺼냄, 연결된 간선 제거 → 노드 6을 큐에 삽입 & 진입차수 0이 됨

 

4. 다음 큐에 들어 있는 노드 꺼내기

노드 3 꺼냄, 연결된 간선 제거 → 새롭게 진입차수 0 되는 노드 없으므로 넘어감

 

5. 다음 큐에 들어 있는 노드 꺼내기 & 꺼낸 노드와 연결된 간선 제거

노드 6 꺼냄, 연결된 간선 제거 → 노드 4을 큐에 삽입 & 진입차수 0이 됨

 

6. 다음 큐에 들어 있는 노드 꺼내기 & 꺼낸 노드와 연결된 간선 제거

노드 4 꺼냄, 연결된 간선 제거 → 노드 7을 큐에 삽입 & 진입차수 0이 됨

 

7. 다음 큐에 들어 있는 노드 꺼내기

노드 7 꺼냄, 연결된 간선 제거 → 새롭게 진입차수 0 되는 노드 없으므로 넘어감

 

결과

큐에서 빠져나간 노드를 순서대로 출력하면, 위상 정렬 수행 결과
* 위상 정렬의 답안은 여러 가지 될 수 있음
ex) 1 2 5 3 6 4 7 or 1 5 2 3 6 4 7

# 위상 정렬 소스코드

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b)    # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입차수를 1 증가
    indegree[b] += 1
    
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = []    # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque()    # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
    
    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)
    
    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)
                
    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')
    
topology_sort()

 

해석

 

변수 : 노드 개수 V, 간선 개수 E, 진입차수 리스트 indegree, 방향 그래프 graph, 큐에서 빠져나간 노드 순서 리스트 result

함수 : topology_sort( ) : 위상 정렬 함수 

 

1. 노드 개수 V, 간선 개수 E 입력받기

2. 진입차수 리스트 indegree 초기화 : [0] * (v + 1)

3. 방향 그래프 graph 초기화 : [[] for i in range(v + 1)]

4. 방향 그래프 graph 간선 정보 입력 받기 & 진입차수 업데이트

----------------------------- 위상 정렬 함수 -----------------------------

5. 큐에서 빠져나간 노드 순서 리스트 result 초기화

6. 큐 q 정의

7. 진입차수가 0인 노드 큐 q에 삽입

8. q가 빌 때까지 반복문 : 노드 꺼냄, result에 꺼낸 노드 넣기

ㄴ 꺼낸 노드와 연결된 노드 진입차수 -1

ㅡㅡ 새롭게 진입차수 0이 되는 노드 큐 q에 삽입

9. result 출력

 

위상 정렬의 시간 복잡도

• 시간복잡도 : O(V + E)
• 차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야 하는 측면