[그래프 이론] 알고리즘 개념 : 신장 트리

신장 트리

하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프

• 이때 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 성립 조건

1을 포함하고 있지 않음, 사이클이 존재함 → 신장 트리 아님

 

크루스칼 알고리즘

• 가장 적은 비용으로 모든 노드 연결
• 그리디 알고리즘

 

최소 신장 트리 알고리즘 : 신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리 찾는 알고리즘

    - 대표적으로 크루스칼 알고리즘

    - ex) N개의 도시에서 전체 도시가 연결될 수 있게 도로 설치하는 경우

 

알고리즘 동작 원리

• 일종의 트리 자료구조 → 신장 트리에 포함되는 간선의 개수 '노드의 개수 - 1'
• 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가
• 사이클 발생 간선은 제외하고 연결
  → 항상 최적해 보장

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인
   1) 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함
   2) 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않음
3. 모든 간선에 대하여 2를 반복

 

0. 그래프의 간선 정보 정렬

 

 

1. 가장 짧은 간선 선택 → (3, 4) 집합에 포함

• 노드 3과 노드 4에 대하여 union 함수 수행, 동일한 집합에 속하도록 만듦

 

2. 다음 짧은 간선 선택 → (4, 7) 집합에 포함

• 노드 4와 노드 7에 대하여 union 함수 호출

 

3. 다음 짧은 간선 선택 → (4, 6) 집합에 포함

• 노드 4과 노드 6에 대하여 union 함수 호출

 

4. 다음 짧은 간선 선택  → (6, 7) 집합에 포함X

• 노드 6과 노드 7의 루트 노드 확인
• 이미 동일한 집합 → 신장 트리에 포함하지 않아야 함. union 함수 호출 x
• 신장 트리에 포함되지 않는 간선은 점섬으로 표시

 

5. 다음 짧은 간선 선택 → (1, 2) 집합에 포함

• 노드 1과 노드 2에 대하여 union 함수 호출

 

6. 다음 짧은 간선 선택 → (2, 6) 집합에 포함

• 노드 2과 노드 6에 대하여 union 함수 호출

 

7. 다음 짧은 간선 선택 → (2, 3) 집합에 포함X

• 노드 2과 노드 3의 루트 노드 확인
• 이미 동일한 집합 → 신장 트리에 포함하지 않아야 함. union 함수 호출 x
• 신장 트리에 포함되지 않는 간선은 점섬으로 표시

 

8. 다음 짧은 간선 선택 → (5, 6) 집합에 포함

• 노드 5과 노드 6에 대하여 union 함수 호출

 

9. 다음 짧은 간선 선택 → (1, 5) 집합에 포함X

• 노드 1과 노드 5의 루트 노드 확인
• 이미 동일한 집합 → 신장 트리에 포함하지 않아야 함. union 함수 호출 x
• 신장 트리에 포함되지 않는 간선은 점섬으로 표시

결과

• 최소 신장 트리에 포함되어 있는 간선의 비용 모두 더하면, 그 값이 최종 비용
• 위의 예시에서 총비용은 159

 

# 크루스칼 알고리즘 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b
        
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)    # 부모 테이블 초기화

# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i
    
# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용 순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost
        
print(result)

해석

 

변수 : 노드 개수 V, 간선 개수 E, 부모 테이블 parent, 간선 리스트 edges, 최종 비용 result

함수 : 루트 노드 찾는 find_parent, 두 원소가 속한 집합 합치는 union_parent

 

* find_parent(부모 테이블 parent , 찾을 원소 x) : 최적화 ver, 루트 노드 찾음

ㄴ 루트 노드가 아니면 재귀적 호출 : (부모 노드 == 자기 자신) 이면 루트 노드

ㄴ return 루트 노드

 

* union_parent(부모 테이블 parent, 원소 a, 원소 b) : 두 원소가 속한 집합 합침

ㄴ a의 루트 노드 찾기 : find_parent

ㄴ b의 루트 노드 찾기 : find_parent

ㄴ 더 큰 루트 노드를 작은 루트 노드로 바꿈

 

1. 노드 개수 V, 간선 개수 E 입력받기

2. 부모 테이블 parent 초기화 : [0] * (v + 1)

3. 간선 리스트 edges, 최종 비용 result 초기화

4. 부모 테이블 parent 상에서 부모를 자기 자신으로 초기화

5. 간선 정보 입력받기 : edges.append((cost, a, b))    # 비용 순으로 정렬하고자, 첫 원소 비용 cost

6. 간선 edges 비용 순으로 정렬

-----------------------------------간선 개수만큼 반복문-----------------------------------

7. 사이클 판별 : find_parent

ㄴ a, b의 루트 노드가 달라 사이클 발생 X : union_parent & result += cost

--------------------------------------------------------------------------------------------------

 

크루스칼 알고리즘의 시간 복잡도

시간 복잡도 : O(ElogE)    # 간선의 개수 E

                      알고리즘에서 시간이 가장 오래 걸리는 부분이 간선 정렬 (O(ElogE))